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Les Logarithmes

La fonction logarithme est la fonction réciproque de la fonction exponentielle. Elle est donc utile pour résoudre les équations comportant des puissances.

Par exemple, la solution de l’équation $2^x=5\;$ est $\; log_2(5)$.

Introduction

Les logarithmes sont une autre façon de penser aux exposants. On peut aussi dire que les logarithmes n’existeraient pas si les exposants n’existaient pas.

$\color{teal}{2}$ puissance $\color{green}{4}$ est égal à $\color{orange}{16}$. Ce qui s’écrit: $\color{teal}{2}^{\color{green}{4}}=\color{orange}{16}$

Si on pose la question: À quelle puissance faut-il élever $\color{teal}{2}$ pour obtenir $\color{orange}{16}$ ? La résponse est $\color{green}{4}$. Si on utilise un logarithme, la relation qui lie 2, 4 et 16 est: $log_{\color{teal}{2}}(\color{orange}{16})=\color{green}{4}$ et se lit: Le logartithme en base deux de seize est quatre.

$$\color{teal}{2}^{\color{green}{4}}=\color{orange}{16} \quad \Leftrightarrow \quad log_{\color{teal}{2}}(\color{orange}{16})=\color{green}{4}$$

Les deux égalités traduisent la même relation entre $\color{teal}{2}$ (base), $\color{green}{4}$ (exposant) et $\color{orange}{16}$ (puissance).

La différence entre ces deux égalités est que dans la forme exponentielle on isole la puissance de $\color{orange}{16}$, tandis que dans la forme logarithmique, on isole l’exposant $\color{green}{4}$.

Logarithmes	Puissances
$log_{\color{teal}{2}}(\color{orange}{8})=\color{green}{3}$	$\color{teal}{2}^{\color{green}{3}}=\color{orange}{8}$
$log_{\color{teal}{3}}(\color{orange}{81})=\color{green}{4}$	$\color{teal}{3}^{\color{green}{4}}=\color{orange}{81}$
$log_{\color{teal}{5}}(\color{orange}{25})=\color{green}{2}$	$\color{teal}{5}^{\color{green}{2}}=\color{orange}{25}$

Définition du logarithme de base $b$

Par définition si $\color{red}{a>0}$ et $\color{red}{b>0}$,

$\Large{log_{\color{teal}{b}}(\color{orange}{a})=\color{green}{c} \; \Leftrightarrow \; \color{teal}{b}^{\color{green}{c}}=\color{orange}{a}}$

$\color{teal}{b}$ est la base de la puissance et c’est aussi la base du logarithme

$\color{green}{c}$ est l’exposant

$\color{orange}{a}$ est la puissance mais c’est aussi l’argument du logarithme

Quand on passe de la forme exponentielle à la forme logarithmique ou vice-vera, la base du logarithme et la base de l’exponentielle sont les mêmes.

Propriétés de base

Logarithme	Exponentielle
$log_b(1)=0$	$b^0=1$
$log_b(b)=1$	$b^1=b$
$log_b(b^x)=x$	$b^{log_b(x)}=x$
$log_b(u^p)=p\cdot log_b(u)$	$(b^u)^p=b^{u\cdot p}$

Ensemble de définition

$log_b(a)$ est défini pour toute la base $b > 0$ et $b \neq 1$ ainsi que pour tout argument $a > 0$. Ces conditions sont la conséquence directe des propriétés des puissances.

$b>a$: Les fonctions exponentielles de base $b$ ne sont définies que si $b$ est strictement positif.

$a>0$: $log_b(a)=c$ équivaut à $b^c-a$. Or toute puissance d’un nombre positif est positive. Donc $b^c>0$ et par conséquent $a>0$.

$b \neq 1$: Si $b$ était égal à $1$ alors, par exemple, il existerait un nombre $x$ tel que $log_1(3)=x$ qui serait équivalent à $1^x=3$. Or toute puissance de $1$ est égale à $1$, donc un tel nombre $x$ n’existe pas, et donc $b\neq1$.

Exemples tricky

$$\bbox[5px,border:1px solid red] {log_{b^y}(a^x)=\frac{x}{y}}$$ $$1)\quad log_{64}\left(\frac{1}{4}\right) = log_{2^6}(2^{-2}) =-\frac{1}{3}$$ $$2)\quad log_{49}(7) = log_{7^7}(7) =\frac{1}{7}$$ $$3)\quad log_{4}\left(\frac{1}{2}\right) = log_{2^2}(2^{-1})=-\frac{1}{2}$$ $$4)\quad log_{4}(8) = log_{2^2}(2^3)=\frac{3}{2}$$

Logarithme népérien

Noté $ln(x)$ le logarithme népérien est le logarithme de base $e$.

$$log_e(x) = ln(x)$$

$e$ est une constante. C’est un nombre irrationnel dont la valeur approchée au millième est $2,718$.

$$e= \lim\limits_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\approx 2,7182$$

Propriétés du logarithme

	Logarithme	Exponentielle
Produit	$log_b(M\cdot N)=log_b(M)+lob_b(N)$	$b^M\cdot b^N=b^{M+N}$
Quotient	$log_b\left(\frac{M}{N}\right) = log_b(M)-log_b(N)$	$\frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$
Puissance	$log_b\left(M^N\right)=N\cdot log_b(M)$

On utilise ces propriété pour manipuler les expression logarithmiques.

Ces égalités sont vraies pour tout $u$, $v$ et $b$ pour lesquels le logarithme est défini, c’est à dire pour tout $u$ et $v >0$ et tout $b<b \neq 1$

La fonction logarithme de base $b$ est définie si $b$ est strictement positif et différend de 1, et l’ensembe de définition d’une fonction logarithme est $\pmb{\mathbb{R}_+}$

Logarithme d’un produit

$$log_b(M\cdot N)=log_b(M)+lob_b(N)\; \Leftrightarrow b^M\cdot b^N=b^{M+N}$$

Le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes de ses facteurs.

Si $M=4$, $N=8$ et $b=2$, alors d’après la propriété du logarithme d’un produit, $log_2(4\cdot 8) = log_2(4) + log_2(8)$.

Le calcul qui suit permet de vérifier la propriété dans ce cas précis:

$$\begin{align} log_2(4\cdot8)&=log_2(4)+log_2(8) \\ log_2(32)&=log_2(4)+log_2(8) \\ 5&=2+3 \\ 5&=5 \end{align}$$

Exemple 1: Développer

Développer un logarithme en l’écrivant sous forme de somme.

$$log_6(5y) = log_6(5)+log_6(y)$$

Exemple 2: Réduire

Réduire une somme de logarithmes en l’écrivant sous la forme d’un seul logarithme.

$$log_3(10)+log_3(x) = log_3(10x)$$

Démonstration

On commence par raisonner sur un cas particulier. On prend le cas où $M=4$, $N=8$ et $b=2$

$$\begin{align} log_2(4\cdot8) & = log_2(2^2\cdot2^3) \quad\quad &\small{\color{gray}{2^2=4 \text{ et }2^3=8}}\\ &= log_2(2^{2+3}) \quad\quad \quad\quad &\small{\color{gray}{a^m\cdot a^n=a^{a+m}}}\\ &=2+3 \quad\quad &\small{\color{gray}{log_b(b^c)=c}}\\ &=log_2(4)+log_2(8) &\quad\quad \small{\color{gray}{\text{car }log_2(4)\text{ et }3=log_2(8)}} \end{align}$$

Le raisonnement précédent repose sur le fait que $4$ et $8$ sont des puissances de $2$. Mais dans le cas général, quels que soient $M>N$ et $b>0$, il existe un réel $x$ tel que $b^x=M$ et quels que soient $M>N$ et $b>0$, il existe un réel $y$ tel que $b^y$=N.

On obtient:

$$\begin{align} log_b(MN) & = log_b(b^x \cdot b^y) \\ & = log_b(b^{x+y})\\ & = x + y\\ &= log_b(M)+log_b(N) \end{align}$$

Logarithme d’un quotient

$$log_b\left(\frac{M}{N}\right)= log_b(M)-log_b(N)\; \Leftrightarrow \; \frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$$

Le logarithme d’un quotient est la différence des logarithmes de ses deux termes.

Démonstration

La démonstration est analogue à la démonstration précédente.

Si $x$ et $y$ sont les réels tels que $M=B^x$ et $N=b^y$, alors $log_b(M)=x$ et $log_b(N)=y$

$$\begin{align} log_b\left(\frac{M}{N}\right) & = log_b\left(\frac{b^x}{b^y}\right) \\ &= log_b(b^{x-y})\\ &= x-y\\ &= log_b(M)-log_b(N) \end{align}$$

Exemple 1: Développer

$$log_7\left(\frac{a}{2}\right) = log_7(a)-log_7(2)$$

Exemple 2: Réduire

$$log_4(x^3)-log_4(y) = log_4\left(\frac{x^3}{y}\right)$$

Logarithme d’une puissance

$$log_b(M^p) = p\cdot log_b(M)$$

Le logarithme d’une puissance est le produitde l’exposant par le logarithme de la base.

Exemple 1: Développer

$$log_2(x^3) = 3log_2(x)$$

Exemple 2: Réduire

$$4log_5(2) = log_5(2^5)$$

Pour réduire ou développer une expression logarithmique il est indispensable que tous les logarithmes aient la même base

Formule du changement de base

On cherche la valeur de $log_2(50)$ Or 50 n’est pas une puissance de $2$, donc c’est difficile à calculer sans l’aide de la calculatrice.

On peut changer de base de tout logarithme grace à cette formule:

$$log_b(a) = \frac{log_x(a)}{log_x(b)}$$

• Cette formule est valable quelle que soit la base $x$
• Les arguments sont positifs et les bases sont positives et différentes de 1

Exemple

$$\begin{align} log_2(50) & = \frac{log_{10}(50)}{log_{10}(2)} \quad\quad &\small{\color{gray}{\text{formule du changement de base}}} \\ & \\ &= \frac{log(50)}{log(2)} \quad\quad &\small{\color{gray}{\text{car }log_10(x) = log(x)}}\\ & \\ &\approx 5,644 \end{align}$$