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C’est une technique utile, entre autres pour le calcul de certaines intégrales et dans le calcul des transformées de Laplace.

La décomposition en fractions simples concerne les fonctions rationelles irréductibles:

$$f(x) = \frac{N(x)}{D(x)}$$

Où $N(x)$ et $D(x)$ sont des polynomes tels que le degré de $N(x)$ est inférieur au degré de $D(x)$.

Si le degré du numérateur est supérieur ou égle au degré du dénominateur, on peut effectuer une division polynomial dont le résultat sera la somme d’un polynome et d’une fonction rationnelle:

$$\begin{align} \frac{N(x)}{D(x)} & = P(x)+\frac{R(x)}{D(x)} \\ & = \text{Polynome}+\frac{\text{Reste}}{\text{Fonction rationnelle irréductible}} \end{align}$$

La décomposition en fractions simples poura alors s’appliquer à la partie $\frac{R(x)}{D(x)}.

Les fonctions rationnelles irréductibles sont difficiles à traiter. Il est souvent utile de pouvoir les écrire comme une somme de fractions simples(dites aussi fractions partielles). Pour cel on se base sur le théorème suivant:

Soit: la fonction rationnelle:

$$\frac{N_\color{red}{k}(x)}{D_\color{red}{n}(x)}$$

irréductible avec $\color{red}{(k<n))}$,

Alors:

$$\frac{N_k(x)}{D_n(x)} \equiv F_1(x) + F_2(x)+\cdots +F_r(x)$$

Donc:

$$F_ \color{red}{i}(x) = \frac { A_ \color{red}{i} } { ( p_ \color{red}{i}x + q_ \color{red}{i} )^{\alpha} } \color{green}{\text{ ou bien }} \frac { A_ \color{red}{i} + B_ \color{red}{i} } { ( a_ \color{red}{i} x^2 + b_ \color{red}{i} x + c_ \color{red}{i} )^{\beta} }$$

Ce théorème nous assure l’existence d’une telle décomposition.

Marche à suivre

… pour obtenir la décomposition en fractions simples d’une fraction rationnelle irréductible:

1. Si nécéssaire, effectuer la division euclidienne et considérer, pour ce qui suit uniquement la partie irréductible:

$$\frac { N_k (x) } { D_n (x) } \color{gray}{\text{ (on doit avoir} k < n)}$$

2. Factoriser le dénominateur $D_n (x)$ de façon à le transformer en produit de soit:

• facteurs linéaires $(px + q)^n$

  et ou

• de facteurs quadratiques irréductibles (pas de racines réelles, donc pas factorisables): $(ax^2+bx+c)^m$

3. Pour chaque facteur $(px+q)^n$, écrire la somme des fractions simples:

$$\frac{A_1}{px+q}+\frac{A_2}{(px+q)^2}+\cdots + \frac{A_n}{(px+q)^n}$$

4. Pour chaque facteur $(ax^2+bx+c)^m$, écrire la somme des fractions simples:

$$\frac { A_1 }{ px+q }+ \frac{ A_2 }{ (px+q)^2 }+ \cdots + \frac{B_m x + c_m}{(ax^2+bx+c)^m}$$

5. Calculer les constantes $A_i, B_i, C_i$ en posant que la fraction rationnelle $\frac{N_k(x)}{D_n(x)}$ doit être identique à sa décomposition en fractions simples.

Exemple