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Définitions

Soit $f: I\Rightarrow \mathbb{R}$

Point critique

$x_0$ est un point critique de $f$ si $f ‘(x_0)=0$. Autrement dit, quand la pente $m$ de $f = 0$

Maximum local

Si il existe un interval ouvert $J$ contenant $x_0 | \forall x \in I \cap J f(x) \leq f(x_0)$ alors $x_0$ est un maximum local (à l’interval $J$).

Minimum local

Si il existe un interval ouvert $J$ contenant $x_0 | \forall x \in I \cap J f(x) \geq f(x_0)$ alors $x_0$ est un minimum local (à l’interval $J$).

Extremum local

Notion qui reprend les deux précédentes: Un extremum local est soit un minimum local soit un maximum local.

Maximum global

Si $|x\in I f(x) \leq f(x_0)$ alors x_0 est le maximum global.

Maximum global

Si $|x\in I f(x) \geq f(x_0)$ alors x_0 est le minimum global.

Un maximum global est aussi un maximum local mais pas l’inverse

Regroupement des notions précédentes

Soi $I$ un interval ouver et $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable. Si $f$ admet un maximum (ou minimum) local en $x_0$ alors $f’(x_0)=0$

Logique, au sommet de la crète ou dans le creu, la pente vaut $0$.

• Si on a un extremum local alors on a un point critique mais la réciproque est généralement fausse (point d’inflexion)

• Dans le cas d’un interval fermé, attention aux extrémités qui peuvent être des extremum sans que $f’(x)$ en ces points ne soit $= 0$.

• Pour déterminer $max_{[a;\;b]}f$ et $min_{[a;\;b]}f$ il faut comparer les valeurs de $f$ aux différents points critiques et en $a$ et en $b$.

Applications

Monotonie

Soit $f$ une fonction continue et dérivable sur l’interval $I$ alors:

• Si $f’(x) > 0$ sur $I$ alors $f$ est croissante sur $I$
• Si $f’(x) < 0$ sur $I$ alors $f$ est décroissante sur $I$
• Si $f’(x) = 0$ sur $I$ alors $f$ est monotonne

Concavité

Soit $f$ une fonction continue et dérivable sur l’interval $I$ alors:

• Si $f’‘(x) > 0$ sur $I$ alors $f(x)$ est convexe sur $I$
• Si $f’‘(x) < 0$ sur $I$ alors $f(x)$ est concave sur $I$

Point anguleux et Point de rebroussement

• Le point $P(a;\;f(a))$ est anguleux si $f_{gauche}’(a) \neq f_{droite}’(a)$ et au moins une de ses dérivées (gauche ou droite) $\neq \pm \infty$.
• Le point $P(a;\;f(a))$ est un point de rebroussement si $f_{gauche}’(a) = \pm \infty$ et si $f_{droite}’(a) = \pm \infty$

Dérivabilité et continuité

Une fonction est dérivable en un point si elle est continue en ce point. La réciproque n’est pas valable (points anglueux par exemple)

Point d’inflexion

C’est un point où la fonction change de concavité. Graphyquement, en un point d’inflexion, la tangente coupe la courbe $\Rightarrow$ En ce point la dérivée seconde (si elle existe) s’annule et change de signe.

Théorèmes

Théorème de Rolle

Soit $f:[a;\;b] \rightarrow \mathbb{R}$ telle que:

• $f$ est continue sur $[a;\;b]$
• $f$ est dérivable sur $]a;\;b[$
• $f(a) = f(b)$ Alors il existe $c \in \; ]a;b[\;|\;f’(c)=0$

• Ce théorème ne nous dit pas comment trouver $c$, il affirme uniquement l’existance de ce dernier.
• Rien ne nous dit que $c$ est unique.

théorème des accroissements finis

Soit $f:[a;\;b]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a,\;b]$ et dérivable sur $]a,\;b[$, alors il existe $c \in\;]a,\;b[\;|\; f(b)-f(a) = f’(c)(b-a)$.

Autrement dit, il existe au moins une valeur $c\;\in\;]a,\;b[$ de pente moyenne, c’est à dire: $f’(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

La corollaire de ce théorème nous permet d’étudier la monotonie de la fonction (voir plus haut).