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Exemple

$$\begin{align} f: \quad & \pmb{\mathbb{R}} \longrightarrow \pmb{\mathbb{R}} \\ & x \longmapsto y =f(x) = \frac{2x+3}{1-4x} \end{align}$$

$$\Rightarrow f(x) = -\frac{1}{4x+1}\cdot \frac{7}{2}-\frac{1}{2}$$

Décomposition en fonctions simples:

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$$\color{blue}{g_1(x)}=-\frac{1}{x}$$ $$\small{\color{gray}{(\text{Symétrie d'axe }0y \text{ par rapport à la fonction de référence } \frac{1}{x})}}$$

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$$\text{Compression horizontale de facteur 4}$$ $$\color{red}{g_2(x)} = g_1(4x) = -\frac{1}{4x}$$

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$$\text{Shift horizontal de } - \frac{1}{4}$$ $$\color{green}{g_3(x)} = g_2 \left( x+\frac{1}{4} \right) = - \frac{1}{4\cdot(x+\frac{1}{4})}= - \frac{1}{4x+1}$$

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$$\text{Compression verticale de facteur } -\frac{7}{2} \quad (\; = \; \text{Décompression verticale de facteur } \frac{7}{2})$$ $$\color{orange}{g_4(x)} = g_3(x)\cdot \frac{7}{2} = - \frac{1}{4x+1} \cdot \frac{7}{2}$$

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$$\text{Shift vertical de } -\frac{1}{2}$$ $$\color{purple}{g_5(x)} = g_4(x) - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4x+1} \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = f(x)$$

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$$\color{red}{f(x)} = - \frac{1}{4x+1} \cdot \frac{7}{2} - \frac{1}{2}$$

Observations

La forme généralisée de cette fonction est:

$$A \cdot (\omega x - \varphi) + b$$

Avec:

• $A$: Compression verticale ($\equiv$ Amplitude)
• $\omega$: Compression horizontale
• $\varphi$: Shift horizontal ($\equiv$ Déphasage)
• $b$: Shift vertical