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Définition d’une fonction

$$\begin{align} f: \quad & \pmb{\mathbb{A}} \longrightarrow \pmb{\mathbb{B}} \\ & x \longmapsto y =f(x) \end{align}$$

• $A$: Ensemble de départ ($=$ domaine de définition)
• $B$: Ensemble d’arrivée ($\neq$ ensemble Image)
• $f$: Nom de la fonction
• $x$: Un élément quelconque de l’ensemble $A$
• $y = f(x)$: Un élément de $B$. Désigne la valeur numérique associée à $x$ (dont $x$ est l’antécédent)
  
• La ligne du haut décrit la fonction au niveau des ensembles. Une flèche simple relie l’ensemble de départ à l’ensemble d’arrivée.
• La ligne du bas décrit la fonction au niveau des éléments. La flèche du bas remplace le verbe “associer”.

Domaine de définition $D$ (= ensemble de départ)

Le domaine de définition $D$ d’une fonction $f$ est l’ensemble des vleurs $x$ de $\pmb{\mathbb{R}}$ pour lesquelles $f(x)$ est définie.

$$D = \{x \in \pmb{\mathbb{R}}|f(x)\in \pmb{\mathbb{R}}\}$$

Exemples

1. Le domaine de définition de la fonction polynomiale $y=f(x)=2x-3$ est $D = \pmb{\mathbb{R}} $

2. Le domaine de définition de la fonction rationnelle $y=f(x)=\frac{2}{x-3}$ est $D = \pmb{\mathbb{R}} \setminus {-3} $

3. Le domaine de définition de la fonction irrationnelle $\sqrt[2]{x^2-9}$ est $D = \pmb{\mathbb{R}} \; \setminus \;]-3;\;3[ $

4. Le domaine de définition des fonctions exponentielles est $D=\pmb{\mathbb{R}}$

5. Le domaine de définition des fonctions logarithmiques est $D=\pmb{\mathbb{R^*_+}}$

6. Le domaine de définition des fonctions trig $sin$ et $cos$ est $D = \pmb{\mathbb{R}}$
7. Le domaine de définition des fonctions trig $tan$ et $cot$ est restreint à certaines valeurs de $x$

Ensemble image $I$

L’ensemble image $I$ de la fonction $f$ est le sous ensemble de $B$ constitué de toutes les valeurs possibles de $f(x)$ lorsque $x$ est dans $A$.

$$I = f(A) \text{ et } I \subseteq B$$

Exemples

Soit:

$\begin{align} f: \quad & \pmb{\mathbb{R}} \longrightarrow \pmb{\mathbb{R}} \color{gray}{\quad E_{arr}}\ & x \longmapsto y =f(x) = x^2 \end{align}$

L’ensemble image $I$ est $\pmb{\mathbb{R_+}}$

Beaucoup de formules que l’on rencontre en math et en science ne sont rien d’autre que des fonctions. Ainsi la formule $A=\pi\cdot r^2$ de l’aire d’un cercle de rayon $r$ fait correspondre à chaque nombre réel positif $r$ exactement une valeur $A$. La lettre $r$, qui représente une nombre quelconque du domaine de définition, est la variable indépendante. La lettre $A$, qui représente un nombre de l’ensemble image, est une variable dépendante, puisque sa valeur dépend de la valeur attribuée à $r$. Lorsque deux variables sont liées de cette façon, on dit que $A$ est une fonctionde $r$. De même lorsqu’une voiture roule à la vitesse de $60km/h$ la distance en $km$ qu’elle parcourt en $t$ heures est donnée par $d = 60 \cdot t$, la distance $d$ apparait ainsi comme une fonction du temps $t$.

Interprétation graphique

Un graphique permet d’examiner le comportement des valeurs de $f(x)$ pendant que $x$ varie dans le domaine de définition de la fonction $f$. Par définition le graphique d’une fonction $f$(ou la courbe représentative $C$) est le graphique de l’équation $ y=f(x)$ pour $x$ dans le domaine de définition $f$.

$$P(x,y) \in C \quad \Leftrightarrow \quad x \in D \text{ et } y=f(x)$$

Range = Ensemble Image $I$

• $y=f(x)$ est l’image de $x$ et $x$ est l’antécédent de $y=f(x)$

Courbe, fonction, application / injectivité, surjectivité, bijectivité

Pour être qualifié de:

• Fonction: Pas plus d’une image par élément de l’ensemble de départ ($E_{dep}$) aussi non il s’agit d’une Courbe

• Application Tous les éléments de l’ensemble de départ ont une image (deux éléments de l’ensemble de départ peuvent avoir la même image).

Pour transformer une fonction en application on réduit son ensemble de départ.

• Application injective: Les éléments de l’ensemble de départ ont des images différentes. $f(x_1) = f(x_2) \Leftrightarrow x_1 = x_2 \quad \text{ ou } \quad x_1 \neq x_2 \Leftrightarrow f(x_1) \neq f(x_2)$

Pour transformer une application en application injective, on modifie l’ensemble de départ.

• Application surjective: Tous les éléments de l’ensemble d’arrivée ont des antécédents.

Pour transformer une application en application surjective, on modifie l’ensemble d’arrivée.

On parle d’application bijective quand une application est à la fois injective et surjective. Cela veut dire que chaque élément de l’ensemble de départ a une unique image différente des autres éléments de l’ensemble de départ et que chaque élément de l’ensembe d’arrivée a un antécédent.