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Parité d’une fonction

La prarité d’une fonction est une propriété qui requiert d’abord la symétrie du domaine de définition par rapport à l’origine puis s’exprime par l’une ou l’autre des relations suivantes:

• Fonction paire: Pour tout $x$ du domaine de définition, $f(-x) = f(x)$
• Fonction impaire: Pour tout $x$ du domaine de définition, $f(-x) = -f(x)$

En analyse réelle, les fonctions paires sont les fonctions dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (fonctions constantes, fonction carré et plus généralement les fonctions puissance d’exposant pair, le cosinus, …)

Les fonctions impaires sont celles dont la courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine, telles les fonctions identité ($y=x$), cube et plus généralement les fonctions puissance d’exposant impaire, les fonctions inverse, sinus, tangente et leur réciproques.

Les seules fonctions à être à la fois paires et impaires sont les fonctions nulles sur un domaine symétrique ($f(x)=0$).

Une fonction quelconque n’est en général ni paire ni impaire, même si son domaine de définition est symétrique par rapport à l’origine. Toute fonction définie sur un tel domaine s’écrit en revanche de manière unique comme une somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.