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Considérons la fonction $sinus$ et opérons 4 types de transformation:

Définition et nomenclature

Soit la fonction:

$$y = \color{blue}{A} \cdot sin(\color{red}{\alpha} x- \color{green}{\phi}) + \color{orange}{b}$$

1. $ \color{blue}{A} \Rightarrow $ amplitude : dilatation ou contraction verticale
2. $ \color{red}{\alpha} $ vitesse angulaire : dilatation ou contraction horizontale
3. $ \color{orange}{b} \Rightarrow$ décalage vertical : déplacement vertical
4. $ \color{green}{\phi} \Rightarrow $ déphasage : déplacement horizontal

• $\frac{2\pi}{\alpha} \Rightarrow$ période, on la note $T=\frac{2\pi}{\alpha}$
• $\frac{\phi}{\alpha} \Rightarrow$ phase à l’origine

$\color{blue}{A} \Rightarrow $ amplitude : dilatation ou contraction verticale

• La multiplication de $sin(x)$ par un facteur $A$ change l’amplitude.
• La position de la courbe par rapport aux axes n’est pas modifiée.
• Les points d’intersection avec l’axe des x ne changent pas.

Les valeurs de $y$ sont entièrement comprises dans une bande allant de $y = -A$ à $y=A$

$$\bbox[5px,border:1px solid red] { y \in [-A, A]}$$

$ \color{red}{\alpha} $ vitesse angulaire : dilatation ou contraction horizontale

Considérons la fonction $ y = sin(\color{red}{2}x)$ et déterminons les points d’intersection avec l’axe des $x$.

On sait que $sin(\color{red}{x})$ vaut $0$ quand $\color{red}{x}$ vaut $\pi$ par exemple. Donc $sin(\color{red}{2x})$ vaudra $0$ quand $\color{red}{2x}$ vaudra $\pi$.

La courbe $sin(\color{red}{2}x)$ coupera l’axe des x si $\color{red}{2}x = \pi$ donc si $x=\frac{\pi}{2}$.

On constate que la fonction $sin(2x)$ a une période réduite d’un facteur $2$. Notons $T$ cette période, nous avons:

$$\begin{align} y & = sin(x) & \quad & \Rightarrow \quad T =2\pi \\ y & = sin(\color{red}{2}x) & \quad & \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\color{red}{2}} \\ y & = sin(\color{red}{\alpha}x) & \quad & \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi}{\color{\alpha}{2}} \\ \end{align}$$

La multiplication de la variable par un facteur change la période: $sin(\color{red}{\alpha}x)$ est $\frac{2\pi}{\color{red}{\alpha}}$ périodique.

$ \color{orange}{b} \Rightarrow$ décalage vertical : déplacement vertical

L’ajout d’une constante $\color{red}{b}$ déplace verticalement le graph de la fonction.

$ \color{green}{\phi} \Rightarrow $ déphasage : déplacement horizontal

Considérons la fonction $y=sin(x-\color{red}{\phi})$ et cherchons ses intersections avec l’axe des $x$:

Nous savons déjà que $y=0$ si $x-\color{red}{\phi}=\pi$ par exemple, donc $x = \pi + \color{red}{\phi}$. Ceci etant valable pour toutes les autres intersections avec l’axe des $x$.

On constate que le fait de soustraire $\phi$ à la variable $x$ décale le graphe de la fonction vers la droite si $\phi>0$ et vers la gauche si $\phi < 0$.

Soustraire $\phi$ à la variable signifie que:

• $sin(4x)$ devient $sin(4\left(x-\frac{\phi}{4}\right))$ qui est bien décalée de $\phi$

$$\color{red}{\text{par contre}}$$

• $sin(4x-\phi) = sin(4\left(x-\frac{\phi}{4}\right))$ et est décalée de $\frac{\phi}{4}$ seulement!